Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

*Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.*

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

• 1. On considère la droite $\Delta_1$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 - 3t \\ y &=& 4 + 2t \\ z &=&\phantom{4 +2}t \end{array}\right.$, où $t \in \mathbb{R}$ ainsi que la droite $\Delta_2$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x& =& -4 + \phantom{2}s \\ y& =& \phantom{-}2 + 2s \\ z& =& - 1 + \phantom{2}s \end{array}\right.$, où $s \in \mathbb{R}$.

  • a) Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
  • b) Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
  • c) Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes.

• 2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&1 + \phantom{2}t \\ y &=& 3 - \phantom{2}t \\ z &=& 1 + 2t \end{array}\right.$, où $t \in R$, et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0.$

  • a) La droite $d$ est incluse dans le plan $P$.

  • b) La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$.

  • c) La droite $d$ est sécante au plan $P$.

• 3. On considère les points A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3  ; 1), C$(-1 ; 4 ; 5)$ et D$(- 3 ; 3 ; 5)$.

  • a) Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

  • b) Les points A, B et C sont alignés.

  • c) $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.

• 4. On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$.

  • a) Le point R$(1 ; 1 ; -2)$ appartient aux deux plans.

  • b) Les deux plans sont orthogonaux.

  • c) Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x&=& \phantom{17}t \\ y& =& \phantom{1}7t + 4 \\ z& =& 11t + 7 \end{array}\right.$, où $t \in \mathbb{R}$.