Bac Maths 2025 — Amérique du Sud — Jour 2

Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

2025 · Amérique du Sud · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : 25MATJ2AS1

Term. Spé Maths — Analyse (Suites)Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))Suites et récurrence Limites de suites

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Exercice 3 — Bac Maths 2025 — Amérique du Sud — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 3 — Bac Maths 2025 Amérique du Sud

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

v_0 &=& \ln (4) \\ v_{n+1} &=& \ln \left(- 1 +2\text{e}^{v_n}\right) \end{array}\right. \text{et} w_n = - 1 + \text{e}^{v_n}.$$ On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive. - **1.** Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$. - **2.** - **a)** Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre. Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B. *(Tableau : voir le sujet PDF.)* - **b)** Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$. - **c)** À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$. *(Tableau : voir le sujet PDF.)* - **1.** - **a)** Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. - **b)** En déduire que pour tout entier naturel $n, \: v_n = \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)$. - **c)** Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. - **2.** Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S. ```python from math import* def seuil(S): V=ln(4) n=0 while V < S : n=n+1 V=ln(2*exp(V)-1) return(n) ```

À propos de l'exercice 3 du Bac Maths 2025 — Amérique du Sud

Exercice 3 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2025, session Amérique du Sud — Spé Maths. Il porte sur : Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence, Limites de suites. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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