Exercice 2 — Distances, projetés, aires et volumes, Orthogonalité et produit scalaire

Dans une salle d'escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication.

Ce module servira à créer des plans inclinés.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)$.

L'unité est le mètre.

On considère les trois points suivants : B$\left(\dfrac{9}{2} ; 0 ; 0\right)$, C$\left(\dfrac{9}{4} ; 3 ; 0\right)$ et $D\left(\dfrac{3}{2} ; 1 ; 3\right)$.

On modélise le module par le tétraèdre ABCD.

On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité.

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie A

• 1. On représente ci-contre le triangle ABC et sa hauteur issue de C.

  • a) Montrer que le triangle ABC est isocèle en C.

  • b) Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à $6,75\,\text{m}^2$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2.

  • a) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $z=0$.

  • b) Montrer que le point H$\left(\dfrac{3}{2} ; 1 ; 0\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

• 3. On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à la base $\mathcal{B}$.

  En déduire le volume du module.

Partie B

• 1. On considère le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4

  3

  3 \end{pmatrix}$.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est :

    $4x+3y+3z-18=0.$

  • c) Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (BCD) et passant par D.

• 2. On admet que la droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont sécants et on désigne par L leur point d'intersection.

  Montrer que L a pour coordonnées $\left(-\dfrac{5}{2} ; -2 ; 0\right)$.

• 3. Le module est considéré adapté aux débutants si l'angle $\widehat{\mathrm{LDH}}$ est strictement inférieur à $60$°.

  Montrer que ce module est adapté aux débutants.