Exercice 3 — Combinatoire et dénombrement, Loi binomiale

Commun à tous les candidats

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».

Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

• 1. Justifier qu'il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.

• 2. Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.

• 3. Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève 1 € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$ €. Le jeu est-il favorable au joueur?

• 4. Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.

  • a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.

  • b) Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X = 5)$.

  • c) Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

EXERCICE au choix du candidat — 5 points

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B