Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Commun à tous les candidats

On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous.

Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L est défini par: $\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AI}}\right)$.

On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0 ; 1 ; \dfrac{3}{2}\right)$.

• 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$ et $\overrightarrow{\text{AL}}$.

• 2.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6 ; -3 ; 2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).

  • c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).

  • d) En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49} ; \dfrac{40}{49} ; \dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$

• 1.

  • a) Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.

  • b) Calculer la distance du point D au plan (AKL).

  • c) Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.