Exercice 5 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1 ;  +\infty[$ par

$f(x) = x - \ln (x - 1).$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

• 1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
• 2. À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie II :

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]1 ;  +\infty[$ par

$f(x) = x - \ln (x - 1).$

• 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

• 2.

  • a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1 ;  +\infty[$,, $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$.

  • b) En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]1 ;  +\infty[$, complété par les limites.

  • c) Justifier que pour tout $x \geqslant 2$,, $f(x) \geqslant 2$.

Partie III :

• 1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant 2$ pour tout entier naturel $n$.
• 2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
• 3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
• 4. On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.