Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie 1

Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.

S'il prend le bus de $8$ h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.

Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.

S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.

On notera :

• $B$ l'évènement: « Julien réussit à prendre son bus » ;
• $V$ l'évènement: « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ».
• 1. Donner la valeur de $P_B(V)$.
• 2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
• 3. Montrer que $P(V) = 0,6$.
• 4. Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.

Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

• 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

• 2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?

• 3. Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.

• 4. Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

• 5. La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.

  Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.

  On appelle :

  • $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet;
  • $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.

  On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  • a) Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.

  • b) Justifier que: $C = 51500 - 850Y$.

  • c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.

    Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.

  • d) Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.