Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation:

$(P) :\quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0.$

On considère les trois points A, B et C de coordonnées: A(1 ; 0 ; 1) , B$(2 ; - 1 ; 1)$ et C$( - 4 ; - 6 ; 5)$ .

Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

Partie A

• 1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.

• 2. Montrer que le point C$'(0 ; - 2 ; - 1)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $(P)$.

• 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

• 4. On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions

  $\left\{\begin{array}{l} \text{H} \in \text{(AB)} \\ \text{(AB) et (HC) sont orthogonales}. \end{array}\right.$

  Déterminer les coordonnées du point H.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

Partie B

On admet que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{HC}}$ sont : $\overrightarrow{\text{HC}}\begin{pmatrix}- \frac{11}{2}

• \frac{11}{2}

4\end{pmatrix}$.

• 1. Calculer la valeur exacte de $\left\|\overrightarrow{\text{HC}}\right\|$.
• 2. Soit $S$ l'aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.

Partie C

On admet que HC$'= \sqrt{\dfrac{17}{2}}$.

• 1. Soit $\alpha = \widehat{\text{CHC}'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.

• 2.

  • a) Montrer que les droites (C$'$H) et (AB) sont perpendiculaires.

  • b) Calculer $S'$ l'aire du triangle ABC$'$, on donnera la valeur exacte.

  • c) Donner une relation entre $S,\: S'$ et $\cos (\alpha)$.