Exercice 1 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la fonction $f$ définie sur $]0  ; + \infty[$ par

$f(x) = x^2 - x \ln (x).$

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0  ; + \infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A : Étude de la fonction $f$

• 1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

• 2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.

• 3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif:

  $f''(x) = \dfrac{2x - 1}{x}.$

• 4. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0  ; + \infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0  ; + \infty[$.

  On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $]0  ; + \infty[$.

  Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

• 5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0  ; + \infty[$.

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x$

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0  ; + \infty[$ par

$g(x) = x - \ln (x).$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0  ; + \infty[$, on note $g'$ sa dérivée.

• 1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$.

  Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

• 2. On admet que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$.

  Résoudre, sur l'intervalle $]0  ; + \infty[$, l'équation $f(x) = x$.

Partie C : Étude d'une suite récurrente

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = f\left(u_n\right) = u_n^2 - u_n \ln \left(u_n\right).$

• 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:

  $\dfrac12 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.$

• 2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

  On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.

• 3. Déterminer la valeur de $\ell$.