Exercice 4 — Dérivation, Étude complète de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ;  + \infty[$ par

$f(x) = \frac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

• 1. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ;  + \infty[$ par $g(x) = \text{e}^{\sqrt{x}}$.

  • a) Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ;  + \infty[$.

  • b) Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  + \infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que:

    $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}\left(\sqrt x - 1\right)}{4x\sqrt x}.$

• 2.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

  • b) Interpréter graphiquement ce résultat.

• 3.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

  • b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0 ; + \infty[$.

    Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

  • c) Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.

• 4. On pose $I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\, \text{d}x$.

  • a) Calculer $I$.

  • b) Interpréter graphiquement le résultat.

• 5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ;  + \infty[$ et que:

  $f"(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}\left(x - 3\sqrt x + 3\right)}{8x^2\sqrt x}.$

  • a) En posant $X = \sqrt x$, montrer que $x - 3\sqrt x + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  + \infty[$.

  • b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  + \infty[$.