Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$ ml d'un médicament.

On introduit la suite $\left(u_n\right)$ telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.

On a $u_1 = 2$ et

pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1} = 2 + 0,8u_n$.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

• 1. Calculer la valeur $u_2$.

• 2. Montrer par récurrence que :

  positif.}$$

• 3. Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.

• 4. Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions?

  Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.

• 5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$ mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

$S_n = \frac{u_1 + u_2 + … + u_n}{n}.$

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante.

• 1. Calculer $S_2$.

• 2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

  $u_1 + u_2 + … + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.$

• 3. Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$.

• 4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

  1&def mystere(k):
  2&     n = 1
  3&     s = 2
  4&     while s < k:
  5&         n = n + 1
  6&         s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
  7&     return n
  

  Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

• 5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.