Exercice 5 — Équations différentielles, Fonction exponentielle

Partie A :

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x) = 2\text{e}^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x - 2.$

• 1. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

  Montrer que, pour tout réel $x$ :

  $g’(x) = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{- \frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.$

• 2. En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

• 3. Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.

Partie B :

• 1. On considère l'équation différentielle

  $(E) : 3y' + y = 0.$

  Résoudre l'équation différentielle $(E)$.

• 2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0 ; 2).

• 3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $f(x) = 2\text{e}^{- \frac{1}{3}x}$

  et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

  • a) Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point M(0 ; 2) admet une équation de la forme :

    $y= - \dfrac{2}{3}x + 2.$

  • b) Étudier, sur $\mathbb{R}$, la position de cette courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$.

Partie C :

• 1. Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$,, $a$ réel quelconque.

  Montrer que la tangente $\left(\Delta_a\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse $a + 3$.

• 2. Expliquer la construction de la tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $- 2$.