Exercice 4 — Dérivation et convexité, Équations différentielles

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ :

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On considère les points A(0 ; 2) et B(2 ; 0).

Partie 1

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par A et que la droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A, donner par lecture graphique :

• 1. La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
• 2. Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.

Partie 2

On note $(E)$ l'équation différentielle

$y' = -y + \text{e}^{-x}.$

On admet que $g :\, x \longmapsto x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

• 1. Donner toutes les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(H)$ : $y' = -y$.
• 2. En déduire toutes les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$.
• 3. Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel $x$,, $f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$.

• 1. On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  • a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R},\, f'(x) = (-x - 1) \text{e}^{-x}$.

  • b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

    On ne précisera ni la limite de $f$ en $- \infty$ ni la limite de $f$ en $+ \infty$.

    On calculera la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 2. On rappelle que $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

  • a) Calculer pour tout $x \in \mathbb{R},\, f''(x)$.

  • b) Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$?