Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

Commun à tous les candidats

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.

Elle propose alors à ses 5000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.

En mai 2020, seuls $200$ d'entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que $85$ % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0 = 200$.

**Partie A **:

• 1. Calculer $a_1$.

• 2. Justifier que pour tout entier naturel $n$,, $a_{n+1} = 0,85a_n + 450$.

• 3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par: $v_n = a_n - 3000$.

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.

  • b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

  • c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$,, $a_n = - 2800 \times 0,85^n + 3000$.

• 4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2500, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.

**Partie B **:

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}$

où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.

• 1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ;  +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0 ; + \infty[$.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

    $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.$

  • b) Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 3. On admet que pour tout entier naturel $n$,

  $0 \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.$

  En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.