Exercice 5 — Équations différentielles, Fonction exponentielle

(Tableau : voir le sujet PDF.)

On considère l’équation différentielle

$(E)\quad y'= y + 2x\text{e}^x$

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

• 1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^2\text{e}^x$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u'$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.

• 2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $g(x) = f(x) - u(x)$

  • a) Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle: $y' =y$.

    On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.

  • b) À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y' =y$, résoudre l'équation différentielle $(E)$.

• 3. Étude de la fonction $u$

  • a) Étudier le signe de $u' (x)$ pour $x$ variant dans $\mathbb{R}$.

  • b) Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\mathbb{R}$ (les limites ne sont pas demandées).

  • c) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.