Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].

Il existe donc $a \in [0 ; 1]$ tel que $\overrightarrow{\text{CJ}} =a \overrightarrow{\text{CG}}$.

On note $(d)$ la droite passant par I et parallèle à (FJ).

On note K et L les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a = \dfrac{2}{3}$ (Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner les coordonnées des points F, I et J.

• 2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

• 3.

  • a) Montrer que le point de coordonnées $\left(0 ;  0 ; \dfrac{2}{3}\right)$ est le point K.

  • b) Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites $(d)$ et (DH).

• 4.

  • a) Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

  • b) Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.

  • c) Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points K et L sont : K$\left(0 ; 0 ; 1- \dfrac{a}{2}\right)$ et L$\left(0 ; 1 ; \dfrac{a}{2}\right)$.

On rappelle que $a \in [0 ; 1]$.

• 1. Déterminer les coordonnées de J en fonction de $a$.
• 2. Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
• 3. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.
• 4. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.