Exercice 5 — Équations différentielles, Fonction exponentielle

Partie A : Détermination d'une fonction $f$ et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \text{e}^x+ ax + b\text{e}^{-x}$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d'un repère d'origine O, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.

• 2. En utilisant l'expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.

• 3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  • a) Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.

  • b) Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.

  • c) En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$.

• 4. On considère l'équation différentielle :

  $(E):\quad y' +y =2\text{e}^x - x - 1$

  • a) Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

    $g(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}.$

    est solution de l'équation $(E)$.

  • b) Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$.

  • c) En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$.

Partie B : Étude de la fonction $g$ sur $[1 ; +\infty[$

• 1. Vérifier que pour tout réel $x$, on a :

  $\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$

• 2. En déduire une expression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.

• 3. On admettra que, pour tout $x \in [1 ;  +\infty[$,, $\text{e}^x - 2 > 0$.

  Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1 ;  +\infty[$.