Exercice 4 — Variables aléatoires et sommes, Logarithme népérien

Partie A :

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$.

On possède un test de dépistage de cette maladie.

On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange.

Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.

Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.

• 1. Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n + 1)$.

• 2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.

  Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ?

  Montrer que $E\left(X_n\right) =n + 1 - n \times 0,95^n$.

Partie B :

• 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20 ;  +\infty[$ par $f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95)$.

  Montrer que $f$ est décroissante sur $[20 ;  +\infty[$.

• 2. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

• 3. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[20 ;  +\infty[$.

  Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.

• 4. En déduire le signe de $f$ sur $[20 ;  +\infty[$.

Partie C :

On cherche à comparer deux types de dépistages.

La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.

La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.