Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On se place dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace.

On considère les points A(1 ; 0 ; 3), B$( -2 ; 1 ; 2)$ et C(0 ; 3 ; 2).

• 1.

  • a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

  • b) Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1

    1

    4\end{pmatrix}$Vérifier que le vecteur$\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

  • c) En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

    $-x + y + 4z - 11 = 0$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y- z + 2 = 0$.

• 1.

  • a) Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.

  • b) Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.

• 2. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1

  1

  0\end{pmatrix}$.

• 3. Montrer que le point M(2 ; 1 ; 3) appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

• 4. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan (ABC).

  Que peut-on dire des trois plans (ABC), $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?