Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

Partie A

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[2 ;+\infty\right[$ par

$f(x)=\ln \left(3 x^{2}+2 x\right).$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[2 ; +\infty \right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2 ;+\infty[$.

• 2. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[2 ;+\infty[$ par :

  $g(x)=f(x)-x$

  On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2 ;+\infty[$

  et que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.

  • a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[2 ;+\infty[$.

  • b) Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.

  • c) En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[2 ;+\infty[$.

Partie B

Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite $(a_{n})$ par son premier terme $a_{0}>0$ et pour tout entier naturel $n$,

$a_{n+1}=\ln \left(3 {a_{n}}^{2}+2 a_{n}\right)$

On étudie le cas où $2 \leqslant a_{0} \leqslant \alpha$, où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=0$.

• 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant a_{n} \leqslant \alpha$.

• 2. Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante.

• 3. Démontrer que la suite $(a_{n})$ converge.

• 4. Démontrer que la limite de la suite $(a_{n})$ est $\alpha$.

Partie C

Dans cette partie, on prend $a_{0}=2$.

La suite $(a_{n})$ est ainsi définie par $a_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$,

$a_{n+1}=\ln \left(3 {a_{n}}^{2}+2 a_{n}\right)$

On note $(b_{n})$ la suite définie par $b_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n$,

$b_{n+1}=\ln \left(3 {b_{n}}^{2}+2 b_{n}\right)$

On admet que la suite $\left(b_{n}\right)$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$.

• 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n} \leqslant b_{n}$.

• 2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  On rappelle qu'en langage Python :

• 3. la commande log(c) renvoie la valeur de $\ln (c)$;

• 4. la commande a**2 renvoie la valeur de $a^{2}$.

  • a) Donner les valeurs renvoyées par l'instruction algo(2).

    On arrondira si besoin les valeurs au millième.

  • b) Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.