Exercice 1 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère :

• les points de l'espace A$(1 ; 0 ; 3)$, B$(2 ; 1 ;-1)$, C$(1 ; 1 ; 1)$ et H$(0 ; 2 ; 1)$;

• le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4

4

2\end{pmatrix}$.

• 1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l'espace.

• 2. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

• 3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

• 4. Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).

• 5. Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{\mathrm{BAH}}$.

• 6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.

• 7. Déterminer les coordonnées du point S$\left(x_{\mathrm{S}} ; y_{\mathrm{S}} ; z_{\mathrm{S}}\right)$ de la droite $(d)$ tel que :

• 8. la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6;

• 9. son abscisse $x_{\mathrm{S}}$ est positive.