Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par :

$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

• 1.

  • a) Préciser la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

  • b) Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.

• 2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$, on a :

  $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}$

  où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

• 3. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

  On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.

• 4. Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.

• 5. On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.

  On note A un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.

  • a) Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0$.

    On note $g$ la fonction définie sur $[0 ;  +\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2$.

    On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.

  • b) Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0 ;  +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0 ; +\infty[$.

  • c) Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.