Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.*

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.

Le point I est le centre du carré ABCD.

On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.

Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

• 1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:

  • A. **a. ** (DK) et (SD)
  • B. **b. ** (AS) et (IC)
  • C. **c. ** (AC) et (SB)
  • D. **d. ** (LM) et (AD)

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I} ;  \overrightarrow{\text{IC}}, \overrightarrow{\text{IB}}, \overrightarrow{\text{IS}}\right)$.

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:

$\text{I}(0 ; 0 ; 0) \quad;\quad \text{A}(-1 ; 0 ; 0) \quad;\quad \text{B}(0 ; 1 ; 0) \quad;\quad \text{C}(1 ; 0 ; 0)\quad; \quad\text{D}(0 ; -1 ; 0) \quad;\quad \text{S}(0 ; 0 ; 1).$

• 1. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:

  • A. **a. ** $\left(\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{4}\right)$
  • B. **b. **$\left(\dfrac{1}{4} ; - \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)$
  • C. **c. **$\left(-\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)$
  • D. **d. **$\left(-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; 1\right)$

• 2. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. Une équation cartésienne du plan (SCB) est:

  • A. **a. ** $y+z-1 =0$
  • B. **b. **$x+y+z- 1=0$
  • C. **c. **$x-y+z=0$
  • D. **d. **$x+z-1 =0$

Exercice au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B. Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.