Exercice 4 — Fonction exponentielle, Dérivation

(Tableau : voir le sujet PDF.)

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.$

• 1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.

L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?

  • b) Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.

  • b) En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

  • c) Démontrer que :

    $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.$

• 3. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.

  • b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.