Exercice 5 — Logarithme népérien, Continuité et TVI

(Tableau : voir le sujet PDF.)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par :

$f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac{3}{x}$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0 ;  +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :

  $f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.$

• 3.

  • a) Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

    On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.

    On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

  • b) Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$.

• 4. Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave.

  On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.