Exercice 4 — Étude complète de fonction, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

**Partie A : étude de la fonction **$f$La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0  ; +\infty[$ par :

$f(x)=x-2+\dfrac{1}{2} \ln x,$

où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0  ;  +\infty[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

• 1.

  • a) Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.

  • b) Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0  ; +\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x + 1}{2x}$.

  • c) Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0  ; +\infty[$.

  • d) Étudier la convexité de $f$ sur $] 0 ;  +\infty[$.

• 2.

  • a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $] 0  ;  +\infty[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1 ; 2]$.

  • b) Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in] 0  ;  +\infty[$.

  • c) Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.

**Partie B : étude de la fonction ** $g$La fonction $g$ est définie sur $] 0 ; 1]$ par :

$g(x) = -\dfrac{7}{8} x^{2}+ x - \dfrac{1}{4} x^{2} \ln x.$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0 ; 1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

• 1. Calculer $g'(x)$ pour $x \in ] 0 ; 1]$ puis vérifier que $g'(x)=x f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

• 2.

  • a) Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left] 0 ; \dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.

  • b) On admet le tableau de signes suivant :

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $] 0 ; 1]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.

Partie C : un calcul d'aire.

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

• La courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$;

• La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\dfrac{7}{8} x^{2}+x$ sur l'intervalle $]0 ; 1]$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.

On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.

• 1.

  • a) Justifier la position relative des courbes $C_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left.] 0 ; 1\right]$.

  • b) Démontrer l'égalité :

    $$\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \:\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}$$

• 2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.