Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points A$(5 ; 5 ; 0)$, B$(0 ; 5 ; 0)$, C$(0 ; 0 ; 10)$ et D$\left(0 ; 0  ; -\dfrac{5}{2}\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Montrer que $\overrightarrow{n_{1}}\begin{pmatrix}1

    -1

    0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (CAD).

  • b) En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : $x-y=0$.

• 2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&\phantom{5 -}\dfrac{5}{2} t \\ y&=&5-\dfrac{5}{2} t \\ z&=&0 \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$.

  • a) On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier que les coordonnées de H sont $\left(\dfrac{5}{2} ; \dfrac{5}{2} ; 0\right)$.

  • b) Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).

• 3.

  • a) Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.

  • b) En déduire que l'aire du triangle ABH est égale à $\dfrac{25}{4}$.

• 4.

  • a) Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.

  • b) En déduire le volume du tétraèdre ABCH.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B }h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

• 5. On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan (ABC).