Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2  ; +\infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et sa tangente $T$ au point B d'abscisse $-1$.

On précise que la droite $T$ passe par le point A$(0  ;  -1)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie A : exploitation du graphique.

À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

• 1. Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.

• 2. La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.

• 3. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.

**Partie B : étude de la fonction ** $f$ \unboldmath

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2  ; +\infty[$ par :

$f(x) = x^{2}+ 2x - 1 + \ln (x + 2),$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

• 1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.

  On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.

• 2. Montrer que pour tout $x>-2, \quad f'(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x+5}{x+2}$.

• 3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2  ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.

• 4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2  ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

• 5. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ;  +\infty[$.

• 6. Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2  ;  +\infty[$ par \quad $g(x)=\ln (x+2)$.

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{0}  ;  \mathrm{I} ,  \mathrm{J})$, représentée ci-après.

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $\mathrm{J}M$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur $]-2  ;  +\infty[$ par \quad $h(x)=\mathrm{J}M^{2}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Justifier que pour tout $x>-2$, on a : \quad $h(x)=x^{2}+[\ln (x+2)-1]^{2}$.

• 2. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2  ;  +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

  On admet également que pour tout réel $x>-2$,

  $h'(x)=\dfrac{2 f(x)}{x+2}$

  où $f$ est la fonction étudiée en partie B.

  • a) Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2  ;  +\infty[$.

    Les limites ne sont pas demandées.

  • b) En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $\mathrm{J}M$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.

• 3. On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $\alpha$.

  • a) Montrer que \quad $\ln (\alpha+2)=1-2 \alpha-\alpha^{2}$.

  • b) En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(\mathrm{J}M_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.

    On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.