Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50\ \text{m}^3$ d'eau. On rappelle que $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}$.

Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore. Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0{,}01\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0{,}70\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.

• 1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0{,}3\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$.
• 2. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0{,}7$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}92\,v_n + 0{,}3.$
  • a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$.
  • b) Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.
• 3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
• 4. Reproduire et compléter l'algorithme ci-après, écrit en langage Python, pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$.

def alerte_chlore(s) :
    n = 0
    u = 0.7
    while ... :
        n = ...
        u = ...
    return n

• 5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B : étude d'un modèle continu

Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisé. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' = -0{,}08\,y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

• 1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = C\,\text{e}^{-0{,}08x} + \dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
• 2.
  • a) Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
  • b) On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0{,}7\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$. On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2\ \text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.