Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

Partie A: étude du sens de variation d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}$

• 1. Résoudre l'équation $f(x) = x$.

• 2.

  • a) On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

    Vérifier que, pour tout réel $x$,on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1 + x^2}}$

  • b) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f(u_n)$.

• 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt 3$.

• 2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

• 3. Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B.

  Pour tout entier naturel $n$, on pose :

  $v_n = \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2}$

  On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie.

  • a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera le premier terme.

  • b) En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\dfrac{1,5 \times 4^n}{1 + 0,5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.

  • c) En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + … + u_{n-1}^2$.

• 1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $(S_n)$.

  from math import*
  
   
  
  def termes(p) :
  
  u = …
  
  S=0
  
  L= [ ]
  
  for i in range(p) :
  
  S=…
  
  u= …
  
  L.append(S)
  
  return L
  

  Remarque : on rappelle qu'en langage Python,

• 2. la commande L= [ ] crée une liste vide ;

• 3. la commande L.append (S) ajoute, à la fin de la liste L, l'élément supplémentaire S.

• 4. On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt 3$.

  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.

• 5. En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.