Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in [4 ; 10]$ par $f(x) = \ln(8x^3 - 1)$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[4 ; 10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Montrer pour tout $x \in [4 ; 10]$, on a :

  $f'(x) = \frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.$

• 2.

  • a) En déduire que $f$ est croissante sur $[4 ; 10]$.

  • b) Montrer que, pour tout $x \in [4 ; 10]$, on a :

    $4 \leqslant f(x) \leqslant 10.$

• 3. On définit la fonction $g$ définie pour tout $x \in [4 ; 10]$ par $g(x) = f(x) - x$.

  On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

  • a) Montrer que, sur l'intervalle $[4 ; 10]$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

  • b) Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$.

Partie B

On admet qu'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

• 1. Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.

• 2.

  • a) Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

    $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10.$

  • b) En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

• 3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que $8,4 \leqslant \alpha \leqslant 8,5$.

On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante.

On précise qu'en langage Python, l'instruction log correspond à $\ln$.

• 1. On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur 11.

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

• 2. Un utilisateur exécute alpha(8.6).

  Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.

def f(x) :
	return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
	n = 0
	u = 5
	while u < a:
		u = f(u)
		n = n + 1
	return n