Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$f(x) = \ln \left(\text{e}^{\frac{x}{2}} + 2\right)$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = f(u_{n})$

• 1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• 2. Montrer que $f(2\ln (2)) = 2\ln (2)$.

• 3. Montrer que $u_{1} = \ln (5)$.

• 4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :

  $2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$

• 5. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

• 6.

  • a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^{2} - X - 2 = 0$.

  • b) En déduire l'ensemble des solutions sur $R$ de l'équation :

    $\text{e}^{x} - \text{e}^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$

  • c) En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x) = x$.

  • d) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$.