Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2 ; +\infty[$ par

$f(x) = \sqrt{3x - 2}.$

• 1. Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

  $*(Tableau : voir le sujet PDF.)*$

  On admet que la suite $\left(u_n\right)$ vérifiant $u_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ est bien définie.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6$.

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

• 3. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.

  On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer la valeur de $\ell$.

• 4. On considère la fonction rang écrite ci-dessous en langage Python.

  On rappelle que sqrt($x$) renvoie la racine carrée du nombre $x$.

  1&from math import *
  
  2&
  
  3&def rang(a) :
  
  4&      u = 6
  
  5&     n=0
  
  6&      while u > = a :
  
  7&     u = sqrt(3*u - 2)
  
  8&     n = n+1
  
  9&      return n
  

  • a) Pourquoi peut-on affirmer que rang(2.000001) renvoie une valeur ?

  • b) Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction rang($a$) renvoie-t-elle un résultat ?

Partie B

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ vérifiant $v_0 = 6$ et, pour tout $n$, entier naturel, $v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}$ est bien définie.

• 1. Calculer $v_1$.

• 2. Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_n \ne 2$ et on pose :

  $w_n = \dfrac{v_n - 1}{v_n - 2}$

  • a) Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_0$.

  • b) On admet que, pour tout $n$ entier naturel,

    $w_n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}.$

    En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,

    $v_n = 2 + \dfrac{1}{1,25 \times 2^n - 1}$

  • c) Calculer la limite de $\left(v_n\right)$.

• 3. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n < 2,01$ en résolvant l'inéquation.

Partie C

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle ]1,99 ; 2,01[.