SUITES DÉFINIES PAR UNE FONCTION ($u_{n+1} = f(u_n)$)

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Suites)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le carrefour du programme d'analyse : il articule Suites et récurrence, Limites de suites, et Étude complète de fonction. Il correspond au type d'exercice le plus fréquent au bac — un exercice complet de 5 à 6 questions, souvent noté 8 à 9 points sur 20.

Prérequis indispensables :

• Démonstration par récurrence (fiche Suites et récurrence)
• Théorème de convergence monotone, méthode du point fixe (fiche Limites de suites)
• Sens de variation d'une fonction, dérivée, tableau de variation
• Continuité d'une fonction

Chapitre débouchant sur : rien de nouveau — c'est une chapitre de synthèse qui mobilise tous les outils.

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1. Notions clés

1.1 Définition

Une suite définie par une fonction est donnée par :

• un terme initial $u_0 \in \mathbb{R}$ ;
• une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction définie sur un intervalle contenant tous les termes de la suite.

Exemples classiques au bac :

• $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ (fonction associée $f(x) = \sqrt{x+6}$)
• $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ (fonction associée $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$)
• $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = u_n(2 - u_n)$ (fonction logistique)

1.2 Intervalle stable

Un intervalle ${\color{#00B050}{I}}$ est stable par $f$ (ou « stable par la relation de récurrence ») si : $\text{pour tout } x \in {\color{#00B050}{I}}, \quad f(x) \in {\color{#00B050}{I}}$

Autrement dit, $f({\color{#00B050}{I}}) \subset {\color{#00B050}{I}}$.

📌 Enjeu : si $u_0 \in {\color{#00B050}{I}}$ et ${\color{#00B050}{I}}$ stable par $f$, alors tous les termes de la suite restent dans ${\color{#00B050}{I}}$. C'est le point de départ de toute étude.

1.3 Représentation graphique (escalier / araignée)

Le tracé se fait dans un repère avec :

• la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ ;
• la droite $\Delta : y = x$ (première bissectrice).

Construction des termes : en partant de $u_0$ sur l'axe des abscisses :

1. Monter verticalement jusqu'à $\mathcal{C}_f$ : on lit $u_1 = f(u_0)$ en ordonnée.
2. Se déplacer horizontalement jusqu'à $\Delta$ : on ramène $u_1$ en abscisse.
3. Remonter verticalement jusqu'à $\mathcal{C}_f$ : on lit $u_2 = f(u_1)$, etc.

Formes typiques :

• En escalier (montant ou descendant) quand $f$ est croissante : suite monotone.
• En araignée quand $f$ est décroissante : suite non monotone (oscillante).

Les points fixes de $f$ (intersections de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$) sont les limites potentielles de la suite.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Stabilité d'un intervalle

Si $f$ est monotone sur ${\color{#00B050}{I}}$, on obtient $f({\color{#00B050}{I}})$ à partir des images des bornes. On vérifie ensuite que $f({\color{#00B050}{I}}) \subset {\color{#00B050}{I}}$.

T2 — Sens de variation de $(u_n)$ (cas $f$ croissante sur ${\color{#00B050}{I}}$ stable)

Si $f$ est croissante sur ${\color{#00B050}{I}}$ stable par $f$, alors la suite $(u_n)$ est monotone :

• Si $u_1 \geqslant u_0$ : $(u_n)$ est croissante.
• Si $u_1 \leqslant u_0$ : $(u_n)$ est décroissante.

Démonstration classique par récurrence de $u_{n+1} \geqslant u_n$ (voir méthode M2 ci-dessous).

T3 — Cas $f$ décroissante

Si $f$ est décroissante sur ${\color{#00B050}{I}}$ stable, alors la suite $(u_n)$ n'est pas monotone en général.

En revanche, les deux suites extraites $(u_{2n})$ (termes pairs) et $(u_{2n+1})$ (termes impairs) sont monotones de sens contraires : elles sont associées à la fonction $f \circ f$, qui est croissante sur ${\color{#00B050}{I}}$.

T4 — Convergence par TCM

Si $(u_n)$ est monotone (M2) et bornée (via l'intervalle stable T1), alors $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

T5 — Détermination de la limite (point fixe)

Si $\lim u_n = \ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$.

On résout $f(x) = x$ et on retient la solution dans ${\color{#00B050}{I}}$.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Démontrer qu'un intervalle est stable

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$. »

Démarche. On démontre par récurrence que ${\color{#EE0000}{a}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{b}}$, en s'appuyant sur la monotonie de $f$.

Rédaction canonique (cas $f$ croissante sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$).

$\mathcal{P}(n)$ : « ${\color{#EE0000}{a}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{b}}$ ».

Initialisation. On vérifie que $u_0 \in [{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$.

Hérédité. Supposons ${\color{#EE0000}{a}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{b}}$. La fonction $f$ étant croissante sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ :

$f({\color{#EE0000}{a}}) \leqslant f(u_n) \leqslant f({\color{#0070C0}{b}})$

On calcule $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$, on vérifie que $f({\color{#EE0000}{a}}) \geqslant {\color{#EE0000}{a}}$ et $f({\color{#0070C0}{b}}) \leqslant {\color{#0070C0}{b}}$, puis on conclut ${\color{#EE0000}{a}} \leqslant u_{n+1} \leqslant {\color{#0070C0}{b}}$.

Conclusion. Par récurrence, $u_n \in [{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

⚠ Règle couleur canonique : les bornes fixes de l'intervalle stable (${\color{#EE0000}{a}}$ et ${\color{#0070C0}{b}}$) conservent leur couleur à travers toutes les transformations (image par $f$, comparaison, conclusion).

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M2 — Démontrer la monotonie de $(u_n)$ par récurrence (cas $f$ croissante)

Contexte : on a montré qu'un intervalle ${\color{#00B050}{I}}$ est stable et que $f$ est croissante sur ${\color{#00B050}{I}}$. Type d'énoncé : « Démontrer que $(u_n)$ est croissante. »

Rédaction canonique.

$\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leqslant u_{n+1}$ ».

Initialisation. On calcule $u_0$ et $u_1$, on vérifie $u_0 \leqslant u_1$.

Hérédité. Supposons $u_n \leqslant u_{n+1}$. Comme $f$ est croissante sur ${\color{#00B050}{I}}$ et $u_n, u_{n+1} \in {\color{#00B050}{I}}$ (question précédente) :

$f(u_n) \leqslant f(u_{n+1})$

soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$. Donc $\mathcal{P}(n+1)$ vraie.

Conclusion. Par récurrence, $(u_n)$ est croissante.

Point-clé : l'utilisation de la monotonie de $f$ est le cœur de la démonstration — la citer explicitement.

Où c'est tombé : systématique dans les exos de suite type. Métropole 2021 à 2024, Polynésie 2022 à 2024, Asie 2023, 2024.

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M3 — Étudier la fonction associée pour prévoir le comportement de la suite

Contexte : avant même de commencer les récurrences, on étudie $f$ sur son intervalle de définition pour connaître :

1. Sens de variation (dérivée) — nécessaire pour M2.
2. Points fixes ($f(x) = x$) — candidats pour la limite.
3. Position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta : y = x$ — donne le sens de variation attendu de $(u_n)$ selon la position de $u_0$.

Règle graphique. Si $u_0 < \ell$ (point fixe) et $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $\Delta$ entre $u_0$ et $\ell$ : la suite est croissante et tend vers $\ell$. Si $\mathcal{C}_f$ en-dessous : la suite est décroissante.

Où c'est tombé : souvent en préambule à l'exercice sur la suite, avec une étude de fonction en question 1.

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M4 — Représentation graphique (escalier / araignée)

Type d'énoncé : « Sur le graphique fourni, placer $u_0, u_1, u_2, u_3$ sur l'axe des abscisses. »

Démarche. On applique la construction pas-à-pas (vertical vers $\mathcal{C}_f$, horizontal vers $\Delta$, vertical vers $\mathcal{C}_f$, etc.).

Interprétation :

• Escalier montant vers le point fixe : suite croissante convergente.
• Escalier descendant vers le point fixe : suite décroissante convergente.
• Escalier s'éloignant : suite divergente.
• Araignée qui se resserre : $f$ décroissante, suite convergente.
• Araignée qui s'éloigne : $f$ décroissante, suite divergente.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, Polynésie sept. 2023, Amérique du Sud 2024.

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M5 — Conclure la convergence par TCM

Après avoir démontré M1 (bornage) et M2 (monotonie) :

$(u_n)$ est croissante (M2) et majorée par ${\color{#0070C0}{b}}$ (M1). D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \in [{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$.

Voir fiche Limites de suites pour le détail du TCM.

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M6 — Détermination de la limite (point fixe)

Démarche complète (voir fiche Limites de suites, M7) :

1. Justifier la continuité de $f$ sur l'intervalle.
2. Passer à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ : $\ell = f(\ell)$.
3. Résoudre $f(x) = x$ sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$.
4. Sélectionner la solution compatible avec les contraintes.

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M7 — Suite auxiliaire (cas $f$ affine ou question guidée)

Contexte : quand $f$ est affine ($f(x) = ax + b$), la suite n'est ni arithmétique ni géométrique, mais on peut construire une suite auxiliaire géométrique $v_n = u_n - \ell$, où $\ell$ est le point fixe.

Démarche.

1. Résoudre $f(x) = x$ pour trouver $\ell$.
2. Poser $v_n = u_n - \ell$ et montrer que $v_{n+1} = a \times v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison ${\color{#0070C0}{a}}$.
3. En déduire $v_n = v_0 \times {\color{#0070C0}{a}}^{\,n}$, puis $u_n = v_n + \ell$.
4. Passer à la limite (si $|{\color{#0070C0}{a}}| < 1$, $\lim v_n = 0$ donc $\lim u_n = \ell$).

Exemple. $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, $u_0 = 0$.

Point fixe : $x = \dfrac{1}{2}x + 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = 3 \Leftrightarrow x = 6$. Donc $\ell = 6$.

$v_n = u_n - 6$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}u_n - 3 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = {\color{#0070C0}{\dfrac{1}{2}}} \times v_n$.

$(v_n)$ géométrique de raison ${\color{#0070C0}{\dfrac{1}{2}}}$, $v_0 = u_0 - 6 = -6$.

$v_n = -6 \times {\color{#0070C0}{\dfrac{1}{2}}}^{\,n}$, donc $u_n = -6 \times {\color{#0070C0}{\dfrac{1}{2}}}^{\,n} + 6$.

$\lim u_n = 6$.

Où c'est tombé : Métropole 2021, 2023, Polynésie 2022, Antilles-Guyane 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Type d'exercice le plus fréquent au bac spécialité maths. Une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ apparaît dans plus de 75 % des sujets depuis 2021.
• Structure canonique en 5 à 6 questions, souvent notée 8 à 9 points sur 20 :
  1. Étude de la fonction $f$ (variations, éventuellement dérivée)
  2. Démontrer que l'intervalle est stable (M1)
  3. Démontrer la monotonie (M2)
  4. Conclure à la convergence par TCM (M5)
  5. Déterminer la limite par point fixe (M6)
  6. Éventuellement : question algorithmique (Python) — encadrement, seuil, terme
• Alternative fréquente : suite auxiliaire géométrique (M7) quand $f$ est affine.
• Question graphique presque systématique : placer $u_0, u_1, u_2$ sur le dessin fourni (M4).
• Question Python fréquente : compléter un algorithme donnant le plus petit $n$ tel que $|u_n - \ell| < 10^{-3}$.
• Cas $f$ décroissante : plus rare mais présent (Métropole sept. 2023), avec étude séparée des suites extraites paires/impaires.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier de démontrer l'intervalle stable avant d'utiliser la monotonie de $f$ dans la récurrence sur la monotonie de $(u_n)$.
2. Confondre « $f$ croissante » et « $(u_n)$ croissante » : $f$ croissante donne $(u_n)$ monotone, mais son sens dépend de la comparaison de $u_0$ et $u_1$.
3. Appliquer la monotonie de $f$ sur un intervalle où $u_n$ n'appartient pas — la stabilité doit être établie en premier.
4. Croire que $f$ décroissante implique $(u_n)$ décroissante : faux. $f$ décroissante ⇒ $(u_n)$ non monotone.
5. Oublier la continuité de $f$ au moment du passage à la limite (point fixe).
6. Prendre toutes les solutions de $f(x) = x$ au lieu de sélectionner celle dans l'intervalle stable.
7. Utiliser $f$ définie par une expression, alors que la suite est définie par une autre relation — bien lire l'énoncé.
8. Erreur sur la première étape de la construction graphique : partir de l'ordonnée $u_0$ au lieu de l'abscisse.
9. Écrire $u_{n+1} = f(u_n)$ pour toute suite — cette écriture n'est valable que quand l'énoncé le donne explicitement.
10. Oublier de repérer les points fixes dans l'étude préalable de $f$ — ce sont les seuls candidats à être limite.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Règle
Définition	$u_0$ donné, $u_{n+1} = f(u_n)$
Intervalle stable $I$	$\forall x \in I, f(x) \in I$
$f$ croissante sur $I$ stable	$(u_n)$ monotone (sens selon $u_1 - u_0$)
$f$ décroissante sur $I$ stable	$(u_n)$ non monotone ; $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ monotones opposées
Convergence	Monotonie + bornage ⇒ TCM
Limite	Point fixe : $\ell = f(\ell)$ (si $f$ continue en $\ell$)
Suite auxiliaire	Si $f$ affine : $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$
Représentation	Escalier ($f$ croissante) ou araignée ($f$ décroissante)

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Structure canonique complète en 5-6 questions (M1 → M6) :

• Métropole — 2021 J2 ex. 3 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 3
• Polynésie — 2022 J2 ex. 3 · 2023 J1 ex. 3 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3
• Amérique du Nord — 2023 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 4 · 2024 J1 ex. 3
• Asie — 2024 J2 ex. 1
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 4

Suite auxiliaire géométrique ($f$ affine) — méthode M7 :

• Métropole — 2021 J2 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 2
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J2 ex. 3