Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = \ln(3x^2 + 1)$

On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ;+\infty[$.

Partie A

On considère la suite $(u_n)$ définie par :

$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier } n \geqslant 0,\quad u_{n+1} = \ln \left(3u_n^2 + 1\right).$

• 1. Calculer $u_1$.

• 2. La suite $(u_n)$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

  $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.$

• 4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Partie B

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$.

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par :

$g(x) = \ln(3x^2+1) - x.$

• 1. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

  Démontrer que pour tout réel $x \in [0 ; +\infty[$,

  $g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.$

• 2. Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2 ; 4]$.

• 3. Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2 ; 4]$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

• 4. Justifier que $\ell = \alpha$.