Exercice 1 — Loi binomiale, Probabilités conditionnelles et arbres

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l’ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l’apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes

Partie A - Premier modèle

À partir d’un échantillon de données, on considère une première modélisation :

• chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ ;
• la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d’une année sur l’autre.

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d’années où El Niño est dominant.

• 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

• 2.

  • a) Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.

  • b) Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l’exercice ?

• 3. Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat.

Partie B - Second modèle

Après une étude d’un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :

• si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu’il le soit encore l’année suivante est $0,5$
• par contre, si le phénomène El Niño n’est pas dominant une année, alors la probabilité qu’il soit dominant l’année suivante est $0,3$.

On considère que l’année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $E_n$ l’évènement « le phénomène El Niño est dominant l’année $2023 + n$ » ;
• $p_n$ la probabilité de l’évènement $E_n$.

En 2023, El Niño n’était pas dominant. On a ainsi $p_0 = 0$.

• 1. Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Justifier que $p_1 = 0,3$.

• 3. En vous aidant de l’arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :

  $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3$

On cherche à prévoir l’évolution de l’apparition du phénomène El Niño.

• 1.

  • a) Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_n)$.

  • b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_n \leqslant \dfrac38$.

  • c) Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$.

  • d) En déduire la convergence de la suite $(p_n)$.

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

• 1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = p_n - \dfrac38$ pour tout entier naturel $n$.

  • a) Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.

  • b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :

    $p_n = \dfrac38\left(1 - 0,2^n\right).$

  • c) Calculer la limite de la suite $(p_n)$.

  • d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.