Exercice 3 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

• 1. On considère les points A$(-1 ; 0 ; 5)$ et B$(3 ; 2 ; -1)$.

  Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

  x &=& \phantom{-}3 - 2t \\

y &=&\phantom{-}2- \phantom{2}t \ z&=&- 1 + 3t \end{array}\right.:\text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

Affirmation 2 : Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5

-2

1\end{pmatrix}$ est normal au plan (OAB).

• 2. On considère :

• 3. la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x &=&15+ \phantom{-}k \\ y &=& \phantom{1}8 - \phantom{-}k \\ z &=& - 6 + 2k \end{array}\right.$ avec :$k\in \mathbb{R}$ ;

• 4. la droite $d'$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&1 + 4s \\ y &=& 2 + 4s \\ z&=&1- 6s \end{array}\right.$ avec $s \in \mathbb{R}$.

  Affirmation 3 : Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.

• 5. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x- y + z + 1 = 0$.

  Affirmation 4 : La distance du point C$(2 ; -1 ; 2)$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $2\sqrt 3$.