Exercice 2 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

2025 · Métropole · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : 25-MATJ2ME1

Term. Spé Maths — Géométrie dans l'espace Représentations paramétriques et équations cartésiennes Orthogonalité et produit scalaire Vecteurs, droites et plans Distances, projetés, aires et volumes

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Exercice 2 — Bac Maths 2025 — Métropole — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 2 — Bac Maths 2025 Métropole

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ . On considère :

les points A $(-1 ; 2 ; 1)$ , :B $(1 ; -1 ; 2)$ et C(1 ; 1 ; 1) ;
la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par:

x& =& \frac 32 + 2t \\ y&=&2 +t \\ z&=&3 - t \end{array}\right. \:\text{avec}\: t \in\mathbb{R} ;$$ - la droite $d'$ dont une représentation paramétrique est donnée par : $$d' : \:\: \left\{\begin{array}{lcl} x& =&\phantom{3 - 2}s \\ y&=&\frac 32 + s \\ z&=&3 - 2s \end{array}\right. \:\text{avec}\: s \in\mathbb{R} ;$$ **Partie A** - **1.** Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point S$\left(- \frac 12 ; 1 ; 4\right)$. - **2.** - **a)** Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 2 4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). - **b)** En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $$x + 2y + 4z - 7 = 0.$$ - **3.** Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. - **4.** - **a)** Démontrer que le point H$(-1 ; 0 ; 2)$ est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC) - **b)** En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan (ABC) tel que S$M < \dfrac{\sqrt{21}}{2}$. **Partie B** On considère un point $M$ appartenant au segment [CS]. On a donc $\overrightarrow{\text{C}M} = k\overrightarrow{\text{CS}}$ avec $k$ réel de l'intervalle [0 ; 1]. - **1.** Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$. - **2.** Existe-t-il un point $M$ sur le segment [CS] tel que le triangle ($M$AB) soit rectangle en $M$ ?

À propos de l'exercice 2 du Bac Maths 2025 — Métropole

Exercice 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2025, session Métropole — Spé Maths. Il porte sur : Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire, Vecteurs, droites et plans, Distances, projetés, aires et volumes. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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