Exercice 1 — Limites de fonctions, Dérivation et convexité

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.*

• 1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.$

  La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation :

  • A. **a. ** $x = 2$ ;
  • B. **b. ** $y = 2$ ;
  • C. **c. ** $y = 0$ ;
  • D. **d. ** $x = - 1$

• 2.  

  On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

  On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.

  On désigne par $f''$ la dérivée seconde de $f$.

  On a représenté sur le graphique ci-contre la courbe de $f''$, notée $\mathcal{C}''$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$.

  La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 2$, est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a :

  $1 + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}$

  On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$.

  Une primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ est définie par :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 6. Pour tout réel $x$, l'expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)