Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

On dispose d’un sac et de deux urnes A et B.

• Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
• L’urne A contient 5 billets : 3 billets de $50$ euros et 2 billets de $10$ euros.
• L’urne B contient 4 billets : 1 billet de $50$ euros et 3 billets de $10$ euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :

• si c’est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l’urne A.
• si c’est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l’urne B.

On note les évènements suivants :

• $A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.

• $C$ : le joueur obtient un billet de 50 euros.

• 1. Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.

• 2. Quelle est la probabilité de l'évènement « *le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de $50$ *€ ?

• 3. Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à 0,3375.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

  L'affirmation « Il y a plus de $80$ de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.

• 2. On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

  Exemple : si le joueur obtient un billet de $50$ €, on a $X_1 = 50$.

  Montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23,50$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357,75$.

• 3. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

  On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_1 + X_2$.

  • a) Montrer que $E(Y) = 47$.

  • b) Expliquer pourquoi on a $V(Y) = V(X_1) + V(X_2)$

• 4. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,…, une centième partie.

  On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3, \:X_4,\:…, X_{100}$.

  On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + … + X_{100}$.

  Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]1950 ; 2750[$ est supérieure ou égale à $0,75$.