Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

  On considère :

• 2. la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :

  x=t y=-1,5-t z=2-2 t \end{cases}\text { où } t \in \mathbb{R};$$

• 3. les points A$(3 ; 0 ; 2)$ et B$(2 ; 1 ;-3)$;

• 4. le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $-x+y-5 z-0,5=0$.

  • a) Affirmation 1 :

    Le plan $(\mathcal{P})$ est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].

  • b) Affirmation 2 :

    Les droites $(d)$ et (AB) sont sécantes.

  • c) On considère le point C de coordonnées $(1,5 ; -3 ; -1)$.

    Affirmation 3 :

    La mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACB}}$, arrondie à $10^{-1}$, est égale à $70,5$°.

• 5. Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :

• 6. le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre;

• 7. celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.

  N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.

  Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

  On considère que les choix des codes sont équiprobables.

  Affirmation 4 :

  Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.