Exercice 1 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :

A$(2 ; 1 ; 1)$, B$(3 ;-2 ; 0)$, C$(0 ;-1 ; 1)$ et D$(0 ; 0 ; 2)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

• 2.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1

    -1

    4 \end{pmatrix} $ est normal au plan (ABC).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :

    $x-y+4 z-5=0.$

• 3. Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et orthogonale au plan (ABC) est donnée par :

  x=t y=-t z=2+4 t \end{cases} \quad \text { avec } t \in \mathbb{R}.$$

• 4. Montrer que le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H$\left(-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{6} ; \dfrac{4}{3}\right)$.

• 5.

  • a) Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.

  • b) Montrer que l'aire du triangle ABC est $3 \sqrt{2}$.

• 6.

  • a) En déduire que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 1.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, * où * $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

  • b) On admet que la distance du point A au plan (BCD) est égale à $\sqrt{2}$.

    En déduire l'aire du triangle BCD.

• 7. Dans cette question, on note $\mathrm{D}_{k}$ le point ayant pour coordonnées $(0 ; 0 ; k)$, où $k$ est un réel.

  • a) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points A, B, C et $\mathrm{D}_{k}$ sont coplanaires.

    Quel est alors le projeté orthogonal du point D$_{k}$ sur le plan (ABC)?

  • b) Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que A soit le projeté orthogonal de $\mathrm{D}_{k}$ sur le plan (ABC) ?