Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Vecteurs, droites et plans

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

Dans le repère orthonormé du sujet, on a représenté :

• la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
• la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point $\text{N}(0\,;\,2)$ ;
• le point $\text{M}(-2\,;\,0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et $\text{P}(2\,;\,0)$ appartenant à la tangente $T$.

(voir la figure dans le sujet PDF)

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-1]$.

Partie A : étude graphique

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

• 1.
  • a) Donner $f(0)$.
  • b) Déterminer $f'(0)$.
• 2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
• 3. La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.
• 4. Parmi les trois courbes proposées dans le sujet (Courbe 1, Courbe 2, Courbe 3), indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifier. (voir les courbes dans le sujet PDF)

Partie B : recherche d'une expression algébrique

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = (ax + b)\,\text{e}^{\lambda x}$, où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

• 1. Justifier que $b = 2$.
• 2. Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$.
• 3. Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.

Partie C : étude algébrique

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 2)\,\text{e}^{-x}$.

• 1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
• 2. On admet que $f'(x) = (-x - 1)\,\text{e}^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
• 3.
  • a) Étudier la convexité de $f$.
  • b) Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
• 4. Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, on pose $I(t) = \displaystyle\int_{-2}^{t} f(x)\,\text{d}x$.
  • a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $I(t) = (-t - 3)\,\text{e}^{-t} + \text{e}^2$.
  • b) En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.