Exercice 3 — Étude complète de fonction

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2.$ On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A : étude de la suite $(u_n)$ dans le cas $1 < a < 2$

• 1.
  • a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)$.
  • b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)$.
• 2. Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
  • a) En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n < 2$.
  • b) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : étude dans le cas particulier $a = 2$

• 1. On donne la fonction u écrite en langage Python :

def u(a, n) :
    u = a
    for k in range(n) :
        u = u**2 - 2*u + 2
    return u

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit u(2,1) et u(2,2) dans la console Python.

• 2. Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $(u_n)$ dans le cas où $a = 2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.

Partie C : étude dans le cas général

• 1. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln(u_n - 1)$.
  • a) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
  • b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1 + \text{e}^{2^n \times \ln(a-1)}$.
• 2. Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $(u_n)$.