Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Distances, projetés, aires et volumes

(Tableau : voir le sujet PDF.) Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ on considère

• [$\bullet$] le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),

• le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1

1

0

\end{pmatrix}$

• la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions. (Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

• 2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0)$.

  • a) On note A$M$ la distance entre les points A et $M$. Démontrer que:

    $AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.$

  • b) Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.

    On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.

• 3. Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.

• 4. On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0)$.

  Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère.

• 5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$.

  On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire

  d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.