Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

• 1. On considère une suite $\left(t_n\right)$ vérifiant la relation de récurrence :

  $\text{pour tout entier naturel } n, t_{n+1}= - 0,8t_n + 18.$

  Affirmation 1 : La suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique.

• 2. On considère une suite $\left(S_n\right)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :

  $3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4.$

  La suite $\left(u_n\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=\frac{S_n}{n}$.

  Affirmation 2 : La suite $\left(u_n\right)$ converge.

• 3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

  $v_1=2 \text{ et pour tout entier naturel } n\geqslant1, v_{n+1}=2-\frac{1}{v_n}.$

  Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$.

• 4. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \text{e}^n-n$.

  Affirmation 4 : La suite $\left(u_n\right)$ converge.

• 5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de $u_n$.

  def u(n) :
       valeur = 2
       for k in range(n) :
            valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur)
       return valeur
  

  On admet que $\left(u_n\right)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ :

  $\sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2.$

  Affirmation 5 : La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.