Exercice 3 — Suites et récurrence, Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}.$

On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

• 1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.

• 2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :

  def terme (n) :
  u = …
  for i in range(n):
  u = …
  return(u)
  

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction terme (n) renvoie la valeur de $u_n$.

• 3. Soit la fonction $f$ définie sur $]- 3 ; +\infty[$ par:

  $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}.$

  Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

  Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]- 3 ; +\infty[$.

• 4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

  $- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n.$

• 5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 6. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

  $v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.$

  • a) Donner $v_0$.

  • b) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.

  • c) En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1 :$

    $u_n = \dfrac{1}{n + 0,5} - 2.$

  • d) Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.