Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, par :

$u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+1}{u_{n}+2}$

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

• 1. Calculer le terme $u_{1}$.

• 2. On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$, par :

  $a_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}-1}$

  On admet que la suite $\left(a_{n}\right)$ est bien définie.

  • a) Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$.

  • b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3 a_{n}-1$.

  • c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,

    $a_{n} \geqslant 3 n-1$

  • d) En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.

• 3. On souhaite étudier la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

  • a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$.

  • b) En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

• 4. On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

  On considère le programme suivant écrit en langage Python :

  1& def algo(p):
  
  2&      u=2
  
  3&      n=0
  
  4&      while u-1>p:
  
  5&          u=(2*u+1)/(u+2)
  
  6&          n=n+1
  
  7&      return (n,u)
  

  • a) Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.

  • b) Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p=0,001$.