PRIMITIVES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Intégration & Équations différentielles)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre introduit la notion de primitive — opération inverse de la dérivation. Il est le prérequis direct du calcul intégral et des équations différentielles : sans savoir « remonter » une dérivée, on ne peut ni intégrer ni résoudre $y' = ay + b$.

Prérequis indispensables :

• Dérivées des fonctions usuelles et des fonctions composées (fiche Dérivation et convexité)
• Fonction exponentielle et logarithme (leurs propres primitives font intervenir $\ln$)
• Manipulation algébrique (factorisation, décomposition d'une fraction)

Chapitre débouchant sur : Calcul intégral (une intégrale est calculée à l'aide d'une primitive), Équations différentielles (résolution passant par la recherche d'une primitive).

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1. Notions clés

1.1 Définition d'une primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si : $F \text{ est dérivable sur } I \quad \text{et} \quad F'(x) = f(x) \text{ pour tout } x \in I$

Vocabulaire : on dit que « $F$ est une primitive de $f$ » et non « la primitive » — car il y en a une infinité.

1.2 Ensemble des primitives

Théorème : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme : $G(x) = F(x) + {\color{#EE0000}{C}}, \quad {\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$

Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc d'une constante.

📌 À retenir : ne jamais oublier la constante d'intégration ${\color{#EE0000}{C}}$ quand on donne l'ensemble des primitives.

1.3 Existence

Théorème (admis) : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

En pratique au bac : toutes les fonctions étudiées étant continues sur leur ensemble de définition, elles admettent des primitives.

1.4 Unicité avec condition initiale

Il existe une unique primitive $F$ de $f$ vérifiant une condition initiale donnée $F(x_0) = y_0$.

Interprétation graphique : parmi toutes les courbes des primitives (translatées verticales les unes des autres), il en existe une seule qui passe par le point $(x_0\,;y_0)$.

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2. Formulaire — primitives usuelles et composées

T1 — Primitives usuelles (à savoir par cœur — tableau miroir des dérivées)

$f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle
$0$	${\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$
$k$ (constante)	$kx + {\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \ne -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + {\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$)
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + {\color{#EE0000}{C}}$	$]0\,;+\infty[$
$e^x$	$e^x + {\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x + {\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x + {\color{#EE0000}{C}}$	$\mathbb{R}$

⚠ Piège classique : la primitive de $\sin$ est $-\cos$ (avec le signe moins) — miroir de $(\cos)' = -\sin$.

T2 — Primitives des formes composées (formule à savoir par cœur)

$f(x)$	Primitive $F(x)$
${\color{#0070C0}{u}}'\,{\color{#0070C0}{u}}^{\,n}$ ($n \ne -1$)	$\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}^{\,n+1}}{n+1} + {\color{#EE0000}{C}}$
$\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{{\color{#0070C0}{u}}}$ (avec ${\color{#0070C0}{u}} > 0$)	$\ln {\color{#0070C0}{u}} + {\color{#EE0000}{C}}$
${\color{#0070C0}{u}}'\,e^{{\color{#0070C0}{u}}}$	$e^{{\color{#0070C0}{u}}} + {\color{#EE0000}{C}}$
$\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{\sqrt{{\color{#0070C0}{u}}}}$ (avec ${\color{#0070C0}{u}} > 0$)	$2\sqrt{{\color{#0070C0}{u}}} + {\color{#EE0000}{C}}$
${\color{#0070C0}{u}}' \cos({\color{#0070C0}{u}})$	$\sin({\color{#0070C0}{u}}) + {\color{#EE0000}{C}}$
${\color{#0070C0}{u}}' \sin({\color{#0070C0}{u}})$	$-\cos({\color{#0070C0}{u}}) + {\color{#EE0000}{C}}$

Lecture : chaque ligne est la réciproque d'une formule de dérivation composée. Ex : $({\color{#0070C0}{u}}^{\,n+1})' = (n+1)\,{\color{#0070C0}{u}}'\,{\color{#0070C0}{u}}^{\,n}$ donne, en divisant par $(n+1)$, la primitive de ${\color{#0070C0}{u}}'\,{\color{#0070C0}{u}}^{\,n}$.

T3 — Linéarité

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors :

• $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$.
• $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$ (pour tout $k \in \mathbb{R}$).

Autrement dit : la recherche de primitives est linéaire.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Trouver toutes les primitives d'une fonction usuelle

Démarche.

1. Identifier la forme de $f$ dans le tableau des primitives usuelles.
2. Écrire une primitive $F$.
3. Ajouter la constante ${\color{#EE0000}{C}}$ pour donner l'ensemble des primitives.
4. Vérification (facultative mais recommandée) : dériver $F$ pour retrouver $f$.

Exemple. Trouver toutes les primitives de $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$.

Par linéarité, une primitive est $F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} - 4 \times \dfrac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x$.

Ensemble : $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + {\color{#EE0000}{C}}$, ${\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$.

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M2 — Trouver la primitive vérifiant une condition initiale $F(x_0) = y_0$

Démarche.

1. Trouver l'ensemble des primitives : $F(x) = F_0(x) + {\color{#EE0000}{C}}$.
2. Utiliser $F(x_0) = y_0$ pour déterminer ${\color{#EE0000}{C}}$.
3. Substituer ${\color{#EE0000}{C}}$ dans $F$.

Exemple. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 1$ telle que $F(0) = 5$.

Ensemble : $F(x) = x^2 + x + {\color{#EE0000}{C}}$.

Condition : $F(0) = 0 + 0 + {\color{#EE0000}{C}} = 5$, donc ${\color{#EE0000}{C}} = 5$.

Primitive cherchée : $F(x) = x^2 + x + 5$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M3 — Reconnaître une forme composée $u'\,u^n$, $u'/u$, $u'\,e^u$, $u'/\sqrt{u}$

Démarche.

1. Identifier une forme composée dans l'expression.
2. Poser ${\color{#0070C0}{u}}$ et vérifier que ${\color{#0070C0}{u}}'$ apparaît bien en facteur.
3. Appliquer la formule miroir du tableau T2.

Exemple 1 — forme $u'\,u^n$. Primitive de $f(x) = 2x\,(x^2 + 1)^3$.

Poser ${\color{#0070C0}{u}}(x) = x^2 + 1$. Alors ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 2x$. On reconnaît ${\color{#0070C0}{u}}' \times {\color{#0070C0}{u}}^3$.

Primitive : $F(x) = \dfrac{{\color{#0070C0}{u}}^{\,4}}{4} + {\color{#EE0000}{C}} = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4} + {\color{#EE0000}{C}}$.

Exemple 2 — forme $u'/u$. Primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

Poser ${\color{#0070C0}{u}}(x) = x^2 + 1$ (bien $> 0$). ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 2x$. On reconnaît $\dfrac{{\color{#0070C0}{u}}'}{{\color{#0070C0}{u}}}$.

Primitive : $F(x) = \ln(x^2 + 1) + {\color{#EE0000}{C}}$.

Exemple 3 — forme $u'\,e^u$. Primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$.

${\color{#0070C0}{u}}(x) = x^2$, ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 2x$. Primitive : $F(x) = e^{x^2} + {\color{#EE0000}{C}}$.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, sept. 2023, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024.

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M4 — Décomposer avant de primitiver

Type d'énoncé : primitive d'une fraction rationnelle ou d'un produit qu'on peut développer.

Exemple 1 — développement. Primitive de $f(x) = (2x - 1)(x + 3)$.

Développer : $f(x) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Primitive : $F(x) = \dfrac{2x^3}{3} + \dfrac{5x^2}{2} - 3x + {\color{#EE0000}{C}}$.

Exemple 2 — fraction à décomposer. Primitive de $f(x) = \dfrac{x + 2}{x} = 1 + \dfrac{2}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.

Primitive : $F(x) = x + 2\ln x + {\color{#EE0000}{C}}$.

Exemple 3 — indication de l'énoncé. L'énoncé donne souvent : « Vérifier que $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x - 2}$ pour tout $x > 2$. En déduire une primitive. » Ici, l'énoncé fait le travail de décomposition à l'avance.

Où c'est tombé : Métropole sept. 2023, Polynésie 2024, Antilles 2024.

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M5 — Vérifier qu'une fonction $F$ est primitive de $f$

Type d'énoncé : « Montrer que $F(x) = (x - 1)\,e^x$ est une primitive de $f(x) = x\,e^x$ sur $\mathbb{R}$. »

Démarche.

1. Dériver $F$.
2. Simplifier $F'(x)$.
3. Vérifier que $F'(x) = f(x)$.

Exemple. $F(x) = (x-1)\,e^x$. $F'(x) = 1 \times e^x + (x-1) \times e^x = (1 + x - 1)\,e^x = x\,e^x = f(x)$. ✓

Où c'est tombé : stratégie très fréquente au bac. Métropole 2021, 2022, 2023, Polynésie 2023.

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4. Analyse fréquentielle

• Les primitives apparaissent dans environ 60 % des sujets de bac spécialité maths — presque toujours en préambule à un calcul d'intégrale ou dans un exercice sur les équations différentielles.
• Format le plus fréquent — deux configurations :
  1. « Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ » (méthode M5), puis calcul d'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
  2. « Trouver une primitive de $f$ » (méthode M1 ou M3), puis application au calcul d'aire ou à une équation différentielle.
• Forme composée $u'/u$ (M3, exemple 2) : particulièrement fréquente — apparaît dans quasiment tous les exercices contenant $\ln$.
• Forme composée $u'\,e^u$ (M3, exemple 3) : fréquente — apparaît dans les études de fonctions du type $P(x)\,e^{u(x)}$.
• Question intermédiaire à guidage : l'énoncé décompose souvent la fraction rationnelle à l'avance (M4, exemple 3), pour rendre la primitive accessible.
• QCM régulier : « Une primitive de $f$ est... » avec 4 propositions à tester par dérivation.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier la constante ${\color{#EE0000}{C}}$ quand on donne l'ensemble des primitives (seulement facultative quand on cherche « une » primitive parmi d'autres).
2. Erreur de signe sur $\sin$ et $\cos$ : primitive de $\sin$ est $-\cos$, primitive de $\cos$ est $+\sin$.
3. Confondre $\ln|x|$ et $\ln x$ : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ est $\ln|x|$, sur $]0\,;+\infty[$ c'est $\ln x$.
4. Écrire $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n = -1$ : cette formule ne fonctionne pas pour $n = -1$ — la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, pas $\dfrac{x^0}{0}$ (indéfini).
5. Oublier le facteur $u'$ dans l'identification $u'\,u^n$ : sans lui, la formule ne s'applique pas.
6. Diviser par la constante à l'intérieur : primitive de $\cos(3x)$ est $\dfrac{1}{3}\sin(3x)$, pas $\sin(3x)$ ni $3\sin(3x)$.
7. Ne pas vérifier en dérivant : la vérification est la sécurité — sur une primitive complexe, une simple dérivation confirme (ou infirme) le résultat.
8. Oublier de justifier l'existence avant de chercher la primitive (rare au bac, mais parfois demandé) : « $f$ est continue sur $I$, donc admet des primitives ».
9. Confondre linéarité et multiplicativité : la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives.
10. Utiliser $u'/u$ sans vérifier $u > 0$ : sinon il faut écrire $\ln|u|$.

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6. Formulaire à retenir

$f(x)$	Primitive
$x^n$ ($n \ne -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$u'\,u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$u'/u$ ($u > 0$)	$\ln u$
$u'\,e^u$	$e^u$
$u'/\sqrt{u}$ ($u > 0$)	$2\sqrt{u}$
$u'\cos u$	$\sin u$
$u'\sin u$	$-\cos u$

Règle générale : toujours ajouter $+ {\color{#EE0000}{C}}$ à la primitive quand on donne l'ensemble.

Vérification : dériver $F$ et retrouver $f$.

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Recherche de primitive + calcul d'intégrale (M1, M3) — configuration standard :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1
• Asie — 2024 J1 ex. 1

Vérification qu'une fonction est primitive (M5) :

• Métropole — 2023 J1 ex. 1
• Polynésie — 2023 J1 ex. 3

Primitive avec condition initiale (M2) :

• Métropole — 2023 J1 ex. 1
• Polynésie — 2023 J1 ex. 3