Exercice 2 — Suites et récurrence, Limites de suites

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par:

$u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3.$

• 1.

  • a) Démontrer que $u_1 = 12$.

  • b) Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.

  • c) À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :

    $u_n\geqslant n + 1.$

  • b) En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

• 3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

  $v_n = u_n - n - 1.$

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

    Donner sa raison et son premier terme $v_0$.

  • b) En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

  • c) En déduire que pour tout entier naturel $n$ :

    $u_n = 2 \times 5^n + n + 1.$

  • d) En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

• 4.

  On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 10^7$.

  • a) Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.

  • b) Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?

  [t]{|l|}
  def suite() :
   u = 3
   n = 0
   while … :
        u = …
        n = n + 1
   return n